张茂林：钢琴调律基础理论-音准曲线的成因 221107
钢琴调律基础理论
音准曲线的成因
文/张茂林（北京乐器研究所）
来源/北京乐器研究所
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测试结果表明：一台由调律师调准了的钢琴，它的88个音的高度并非完全符合理论计算的结果，而是只在中音区(c－c2)大体接近理论值，由c2向上渐趋偏高，由c向下则渐趋偏低，最高音、最低音的最大偏差可达30音分上下。
图5—8显示一位专业调律师所调琴的实测结果(锯齿状连线)，以及取实测坐标点平均值而勾勒出的圆滑的音准曲线。由图不难看出：①钢琴的调律，低音偏低、高音偏高是一种客观存在，而非人有意使然；②人耳听觉误差所造成的音高偏离，伴随着钢琴全音域内的音。
那么，音准曲线是如何形成的呢?主要原因有两个：一是人的生理、心理因素，二是琴弦的固有物理属性。
1．人的生理心理因素
入耳对于不同频率的听觉锐度(感受灵敏度)不一样。前面讲到，人耳对1000Hz附近的振动最敏感，随着频率的不断升高或降低，听觉锐度会下降。这是生理上所决定的。另外，人的心理八度要比数理八度宽一点，要求更高或更低一些的夸张才觉得准了，而这种夸张要求的具体量值是因人而异的。
2．琴弦泛音的非谐性
第二章已讲到，一条理想弦的频率可用下式表达：
公式表明，理想弦的各次泛音的频率为基频的整数倍。而实际应用的钢琴弦并非理想弦，它的柔顺度不足，受劲度以及均匀度等影响，其泛音频率与基频之间呈现较为复杂的关系，存在“非谐性”，即略偏高于基频的整数倍。这样，在八度扩展调律中，由于冠音的音高是由根音的二次谐波(第一泛音)来确定，必然形成向高音区逐渐偏高、向低音区逐渐偏低的音准曲线。
为使弦振动泛音的频率计算更切合实际，须给上述公式加一个修正项。即：
可写成：
式中的“n2A"是针对不同谐波频率的修正项。“A”为由琴弦长度、直径、张力及纵向弹性模量等共同决定的量。由此可见，规格型号不同的钢琴，修正量不一样，谐音的非谐程度不一样。从而导致音准曲线上的差异。
上述公式修正项中的“A”，在取值上都是经验性的。
这里仅举一例
以上式中:
fn —— n次谐音的频率；
f1 —— 第一谐音(即基音)的频率；
E —— 弹性模量；
r —— 弦半径；
L —— 弦长度；
F —— 张弦力。
从经验公式可看出：琴弦长、张力大时，泛音的非谐程度低，频率的偏移量相对小些；琴弦粗时，泛音的非谐程度高，频率的偏移量相对大些。
讲到这里，不但大致清楚了钢琴音准曲线的形成原因，而且还会发现钢琴的音准曲线并非是惟一的，不同规格的钢琴甚至不同人调出的同一台钢琴会表现出不同的曲线特征(亦即高音偏高、低音偏低的程度会有差异)。当然，总的趋向应该是一致的。取其平均值，可以用以体现一般性状况。
